icon [Sympy]3次関数と解グラフ化(SymPy + Matplotlib編) (2018/12/03)
5次以上のn次方程式(非線形方程式)の一般式は困難
xn+an1xn1++a1x+a0=0
scipy.optimize.fsolve, sympy.optimize.fsolve などを利用して近似的に解を求める

参考:非線形方程式の根

ここでは、3次関数をグラフ化してみる。

y = ax3+bx2+cx + d
*定数は任意に入力
a=0.1, b=0.1, c=-20, d=-30
x = [-20, 20]

sympy のインストール

pip3 install sympy

3次方程式と解

def function(a, b, c, d):
    x = Symbol('x')
    return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
 
def answer(a, b, c, d):
    return solve(function(a, b, c, d))
Symbol() で方程式の変数を作成し、solve() で方程式の解を計算する

実数解に虚数部が含まれる

解が実数解でも虚数部(誤差)がでるため、matplotlib の座標として扱えない。
[-10.4646576744031 + 0.e-20*I, -0.0999101526839223 + 0.e-19*I, 9.56456782708699 + 0.e-20*I]
as_coeff_Add() で配列から実数部分だけ抜き出す(解の誤差を無視)
*as_coeff_Add() は、SymPy Modules Reference参照
def convertFloat(value):
    value = (S(value).as_coeff_Add())
    if (type(value[0]) == Float):
        return value[0]

Y座標の作成

式を取得して、subs() で xに値を代入する
def plots(a, b, c, d, min_x, max_x, step):
    x = np.arange(min_x, max_x, step)
    y = [function(a, b, c, d).subs(Symbol('x'), value) for value in x]
    return x, y

サンプル

- 定数a, b, c, d を標準入力
- グラフ用のX軸 max, min を標準入力
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import *
import sys
 
def convertFloat(value):
    value = (S(value).as_coeff_Add())
    if (type(value[0]) == Float):
        return value[0]
        
def function(a, b, c, d):
    x = Symbol('x')
    return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
 
def answer(a, b, c, d):
    return solve(function(a, b, c, d))

def plots(a, b, c, d, min_x, max_x, step):
    x = np.arange(min_x, max_x, step)
    y = [function(a, b, c, d).subs(Symbol('x'), value) for value in x]
    return x, y
 
step = 0.1
a, b, c, d = map(float, input('Please input a, b, c, d.\n').split())
min_x, max_x = map(float, input('Please input min x, max x.\n').split())
 
if (min_x >= max_x): sys.exit('invalid min x max x!')

for value in answer(a, b, c, d):
    value = convertFloat(value)
    plt.scatter([value], [0], label = 'x = %s' % value)

x, y = plots(a, b, c, d, min_x, max_x, step)
plt.plot(x, y)
plt.grid(color='gray')
plt.title("%sx^3 + %sx^2 + %sx + %s" % (a, b, c, d))
plt.legend()
plt.show()
ちなみに、3次方程式で solve() の一般解は以下の通り
-(-3*c/a + b**2/a**2)/(3*(sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)) - (sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)/3 - b/(3*a), -(-3*c/a + b**2/a**2)/(3*(-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)) - (-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)/3 - b/(3*a), -(-3*c/a + b**2/a**2)/(3*(-1/2 + sqrt(3)*I/2)*(sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)) - (-1/2 + sqrt(3)*I/2)*(sqrt(-4*(-3*c/a + b**2/a**2)**3 + (27*d/a - 9*b*c/a**2 + 2*b**3/a**3)**2)/2 + 27*d/(2*a) - 9*b*c/(2*a**2) + b**3/a**3)**(1/3)/3 - b/(3*a)
[3ca+b2a234(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a334(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a333b3a,3ca+b2a23(123i2)4(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a33(123i2)4(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a333b3a,3ca+b2a23(12+3i2)4(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a33(12+3i2)4(3ca+b2a2)3+(27da9bca2+2b3a3)22+27d2a9bc2a2+b3a333b3a]

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実験でFlash版(Flex版)を先に作りましたが、ちょっと停止してます。

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今は、Gon's Privates ってバンドのキーボードやってます。
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